Αρχική Θεματολόγιο Μαθηματικά Βασικές εφαρμογές στην έλλειψη

Βασικές εφαρμογές στην έλλειψη

Εκπαιδευτικό Επίπεδο: Λυκείου

Απευθύνεται: Σε μαθητές μέσης εκπαίδευσης Β Λυκείου.
Τρόπος χρήσης: Οπτικοακουστικό υλικό (video).
Διδακτικός σχεδιασμός: Απλές οπτικοακουστικές εφαρμογές, για να κατανοηθεί η χρήση της θεωρίας σε βασικές ασκήσεις της έλλειψης, που παρουσιάζει συμμετρία ως προς την αρχή των αξόνων.


Παίρνουμε ένα σχοινί μήκους μεγαλύτερο από το Ε'Ε. Στερεώνουμε τα άκρα του στο Ε' και στο Ε. Με ένα μολύβι (M) διατηρούμε το σχοινί τεντωμένο και γράφουμε καμπύλη, είναι η έλλειψη.





Ορισμός της έλλειψης.

ΟΠΤΙΚΟΑΚΟΥΣΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ (VIDEO)


Βασικά στοιχεία της έλλειψης.

Σημείωση:

Περιγράφεται η εξίσωση της έλλειψης, η εκκεντρότητα, οι άξονες, η συμμετρία, οι συντεταγμένες των κορυφών και των εστιών, η εξίσωση της εφαπτομένης σε σημείο της έλλειψης.

ΟΠΤΙΚΟΑΚΟΥΣΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ (VIDEO)


ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1)   Να βρεθούν τα βασικά στοιχεία της έλλειψης c: x2 + 4y2 = 4 και να γίνει πρόχειρα η παράστασή της.

Σημείωση:

Ο μεγάλος άξονας βρίσκεται στον x'x (γιατί;). Κάνετε πρόχειρη παράσταση της έλλειψης. Βρείτε τα μήκη των αξόνων, τις συντεταγμένες των εστιών και των κορυφών της έλλειψης, την εκκεντρότητα και την εξίσωσή της.

ΟΠΤΙΚΟΑΚΟΥΣΤΙΚΗ ΛΥΣΗ (VIDEO)


2)   Να βρεθούν τα βασικά στοιχεία της έλλειψης c: 9x2 + y2 = 9 και να γίνει πρόχειρα η παράστασή της.

Σημείωση:

Ο μεγάλος άξονας βρίσκεται στον y'y (γιατί;). Κάνετε πρόχειρη παράσταση της έλλειψης. Βρείτε τα μήκη των αξόνων, τις συντεταγμένες των εστιών και των κορυφών της έλλειψης, την εκκεντρότητα και την εξίσωσή της.

ΟΠΤΙΚΟΑΚΟΥΣΤΙΚΗ ΛΥΣΗ (VIDEO)


3)   Στην έλλειψη με εστίες τα σημεία Ε’ ( -3, 0 ) , Ε ( 3, 0 ) και μεγάλο άξονα 8 μ.μ. Να βρείτε:

α) το μήκος του μικρού άξονα
β) τις συντεταγμένες των κορυφών της έλλειψης
γ) την εκκεντρότητα και
δ) την εξίσωσή της.

Σημείωση:

Οι εστίες βρίσκονται στον x'x, επειδή Ε'Ε = 2γ υπολογίστε το γ και από τον μεγάλο άξονα Α'Α = 2α, υπολογίστε το α. Υπολογίστε το β από τη σχέση β2 = α2 - γ2. Αντικαταστήστε στη γενική εξίσωση της έλλειψης x2 / α2 + y2 / β2 = 1. Το μήκος του μικρού άξονα  Β'Β = 2β. Υπολογίστε την εκκεντρότητα ε = γ/α .

ΟΠΤΙΚΟΑΚΟΥΣΤΙΚΗ ΛΥΣΗ (VIDEO)


4)   Στην έλλειψη με εστίες τα σημεία Ε’ ( 0, -3 ) , Ε ( 0, 3 ) και μεγάλο άξονα 8 μ.μ. Να βρείτε:

α) το μήκος του μικρού άξονα
β) τις συντεταγμένες των κορυφών της έλλειψης 
γ) την εκκεντρότητα και δ) την εξίσωσή της.

Σημείωση:

Οι εστίες βρίσκονται στον y'y, επειδή Ε'Ε = 2γ υπολογίστε το γ και από τον μεγάλο άξονα Α'Α = 2α, υπολογίστε το α. Υπολογίστε το β από τη σχέση β2 = α2 - γ2. Αντικαταστήστε στη γενική εξίσωση της έλλειψης x2 / β2 + y2 / α2 = 1. Το μήκος του μικρού άξονα  Β'Β = 2β. Υπολογίστε την εκκεντρότητα ε = γ/α .

ΟΠΤΙΚΟΑΚΟΥΣΤΙΚΗ ΛΥΣΗ (VIDEO)


5)   Στην έλλειψη με εστίες τα σημεία Ε’ ( 0, -12 ) , Ε ( 0, 12 ) και εκκεντρότητα 12/13 Να βρείτε:

α) τα μήκη των αξόνων
β) τις συντεταγμένες των κορυφών της έλλειψης 
γ) την εξίσωσή της.

Σημείωση:

Οι εστίες βρίσκονται στον y'y, επειδή Ε'Ε = 2γ υπολογίστε το γ και από την εκκεντρότητα ε = γ/α (α>γ), υπολογίστε το α. Υπολογίστε το β από τη σχέση β2 = α2 - γ2. Αντικαταστήστε στη γενική εξίσωση της έλλειψης x2 / β2 + y2 / α2 = 1. Τα μήκη των αξόνων Α'Α = 2α και Β'Β = 2β.

ΟΠΤΙΚΟΑΚΟΥΣΤΙΚΗ ΛΥΣΗ (VIDEO)


6)   Να βρεθεί η εξίσωση της έλλειψης, συμμετρικής ως προς την αρχή αξόνων, διέρχεται από σταθερό σημείο του επιπέδου και έχει εστίες στον άξονα x'x

Σημείωση:

α) Επειδή από τον ορισμό της έλλειψης το άθροισμα των αποστάσεων του σημείου της έλλειψης από τις εστίες είναι σταθερός αριθμός = 2α και η εστιακή απόσταση = 2γ, τότε υπολογίστε το β και την εξίσωσή της.

ΟΠΤΙΚΟΑΚΟΥΣΤΙΚΗ ΛΥΣΗ (VIDEO)

β) Οι συντεταγμένες του σημείου που διέρχεται η έλλειψη, επαληθεύουν τη γενική εξίσωση της έλλειψης. Επειδή η εστιακή απόσταση Ε'Ε = 2γ είναι γνωστή, υπολογίστε το γ, υπολογίστε το β2 από τη σχέση β2 = α2 - γ2 σε συνάρτηση του α και αντικαταστήστε στην εξίσωση της έλλειψης. Μοναδικός άγνωστος της εξίσωσης, είναι το α2 και επιλύστε.

ΟΠΤΙΚΟΑΚΟΥΣΤΙΚΗ ΛΥΣΗ (VIDEO)


7)   Να εγγράψετε στην έλλειψη c: x2 + 4y2 = 4 τετράγωνο με πλευρές παράλληλες προς τους άξονες.

Σημείωση:

Για την τυχαία κορυφή Κ(x1 , y1) του τετραπλεύρου, βρείτε τις άλλες κορυφές του, ώστε να παρουσιάζουν συμμετρία ως προς τους άξονες και την αρχή. Δείξτε ότι οι διαδοχικές πλευρές τέμνονται κάθετα και με την υπόθεση ότι όλες οι πλευρές θα πρέπει να είναι ίσες ώστε το ορθογώνιο να είναι τετράγωνο, υπολογίστε τις συντεταγμένες αφού θα πρέπει να επαληθεύουν και την εξίσωση της έλλειψης.

ΟΠΤΙΚΟΑΚΟΥΣΤΙΚΗ ΛΥΣΗ (VIDEO)


8)   Αν Ε’ , Ε είναι οι εστίες και Β’Β είναι ο μικρός άξονας της έλλειψης 2x2 + y2 =4, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο με κορυφές τα σημεία Ε, Β, Ε’, Β’ είναι τετράγωνο.

Σημείωση:

Από την εξίσωση της έλλειψης που μας δίνεται, υπολογίστε τα  α2 , β2, γ2, 2β και 2γ άρα και το μήκος Β'Β = 2β και Ε'Ε=2γ. Αποδείξτε ότι Β'Β = ôà , τέμνονται κάθετα και διχοτομούνται. Τότε τα σημεία Ε, Β, Ε’, Β’ είναι κορυφές τετραγώνου.

ΟΠΤΙΚΟΑΚΟΥΣΤΙΚΗ ΛΥΣΗ (VIDEO)


9)   Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων της έλλειψης 3x² + y² = 4, οι οποίες:

(i) είναι παράλληλες στην ευθεία (η):  y = -3x+1
(ii) είναι κάθετες στην ευθεία (η):  y = x/2
(iii) διέρχονται από το σημείο Μ(0,4)

.Σημείωση:

Άσκηση Α6/σελ.112 του σχολικού βιβλίου: Μαθηματικά Β' Τάξη Γενικού Λυκείου - Έκδοση 2009

(i) Στο τυχαίο Κ(x1 , y1) η εφαπτομένη είναι (ε): 3x1x + y1y = 4, επειδή ε//η τότε λε =λη και οι συντεταγμένες του Κ επαληθεύουν την εξίσωση.
(ii)  Στο τυχαίο Κ(x1 , y1) η εφαπτομένη είναι (ε): 3x1x + y1y = 4, επειδή η (ε) είναι κάθετη στην (η), τότε λε λη = -1  και οι συντεταγμένες του Κ επαληθεύουν την εξίσωση.
(iii)  Στο τυχαίο Κ(x1 , y1) η εφαπτομένη είναι (ε): 3x1x + y1y = 4, επειδή το Μ είναι σημείο της (ε) οι συντεταγμένες του θα επαληθεύουν την εξίσωση της (ε) και οι συντεταγμένες του Κ επαληθεύουν την εξίσωση.

ΟΠΤΙΚΟΑΚΟΥΣΤΙΚΗ ΛΥΣΗ (VIDEO)


Αντ Θεοδωράκης 2011
Υπάρχουν λεκτικά λάθη στα video, γι αυτό συγνώμη, πιστεύω όμως, ότι δε χάνεται η ουσία των παρουσιάσεων.


 



Έχουμε 3 επισκέπτες συνδεδεμένους